3.5 Unterteilung in superkritische und subkritische
Bifurkation
Die Umkehrung des Vorzeichens
der nichtlinearen Terme in den dynamischen Gleichungen verändert die
Bifurkation. Man unterscheidet
die Unterklassen superkritisch
(überkritisch) und subkritisch (unterkritisch).
Im folgenden sind für
die vorgestellten Klassen von Bifurkationen die Ergebnisse der Rechnung für
beide Unterklassen aufgelistet.
1. Sattel-Knoten-Bifurkation
superkritisch
(überkritisch)
|
subkritisch
(unterkritisch)
|
dynamische
Gleichung:
Fixpunkte:
,
Für m < 0 existiert kein
Fixpunkt!
linearisierte
Differentialgleichung:
1.
Fixpunkt:
2.
Fixpunkt:
|
dynamische
Gleichung:
Fixpunkte:
,
Für m > 0 existiert kein Fixpunkt!
linearisierte
Differentialgleichung:
1.
Fixpunkt:
2.
Fixpunkt:
|
Die beiden Fälle sind, im
Gegensatz zu 3. und 4., topologisch äquivalent.
2. Transkritische
Bifurkation
superkritisch
(überkritisch)
|
subkritisch
(unterkritisch)
|
dynamische
Gleichung:
Fixpunkte:
,
linearisierte
Diffefferentialgleichung:
1.
Fixpunkt:
2.
Fixpunkt:
|
dynamische
Gleichung:
Fixpunkte:
,
linearisierte
Differentialgleichung:
1.
Fixpunkt:
2.
Fixpunkt:
|
Hier wird sehr schön deutlich, daß man von der superkritischen
zur subkritischen Bifurkation nicht einfach durch Punktspiegelung am Ursprung
gelangt. Dennoch sind die beiden Fälle, im Gegensatz zu 3. und 4., topologisch
äquivalent.
3. Heugabel-Bifurkation
superkritisch
(überkritisch)
|
subkritisch (unterkritisch)
|
dynamische
Gleichung:
Fixpunkte:
,
Für m < 0 verschwinden die
Fixpunkte !
linearisierte
Differentialgleichung:
1.
Fixpunkt:
2./3.
Fixpunkt:
stabil, da m > 0
|
dynamische
Gleichung:
Fixpunkte:
,
Für m > 0 verschwinden die Fixpunkte !
linearisierte
Differentialgleichung:
1.
Fixpunkt:
2./3.
Fixpunkt:
instabil, da m < 0
|
4. Hopf-Bifurkation
superkritisch
(überkritisch)
|
subkritisch (unterkritisch)
|
dynamische Gleichung:
und
1. Lösung:
Ù
2.
Lösung:
Ù
stabil, da m > 0
|
dynamische Gleichung:
und
1. Lösung:
Ù
2.
Lösung:
Ù
instabil, da m < 0
|