3.5 Unterteilung in superkritische und subkritische Bifurkation

 

Die Umkehrung des Vorzeichens der nichtlinearen Terme in den dynamischen Gleichungen verändert die Bifurkation. Man unterscheidet die Unterklassen superkritisch (überkritisch) und subkritisch (unterkritisch).

 

Im folgenden sind für die vorgestellten Klassen von Bifurkationen die Ergebnisse der Rechnung für beide Unterklassen aufgelistet.

 

 

1. Sattel-Knoten-Bifurkation

 

superkritisch (überkritisch)

subkritisch (unterkritisch)

 

dynamische Gleichung:    

 

Fixpunkte:

,

 

Für m < 0 existiert kein Fixpunkt!

 

 

linearisierte Differentialgleichung:

 

1. Fixpunkt:

 

2. Fixpunkt:

 

 

 

dynamische Gleichung:

 

Fixpunkte:

,

 

Für m > 0 existiert kein Fixpunkt!

 

 

linearisierte Differentialgleichung:

 

1. Fixpunkt:

 

2. Fixpunkt:

 

 

 

Die beiden Fälle sind, im Gegensatz zu 3. und 4., topologisch äquivalent.


2. Transkritische Bifurkation

 

superkritisch (überkritisch)

subkritisch (unterkritisch)

 

dynamische Gleichung:    

 

Fixpunkte:

,

 

linearisierte Diffefferentialgleichung:

 

1. Fixpunkt:

 

2. Fixpunkt:

 

 

NT

 

dynamische Gleichung:    

 

Fixpunkte:

,

 

linearisierte Differentialgleichung:

 

1. Fixpunkt:

 

2. Fixpunkt:

 

 

NT

 

Hier wird sehr schön deutlich, daß man von der superkritischen zur subkritischen Bifurkation nicht einfach durch Punktspiegelung am Ursprung gelangt. Dennoch sind die beiden Fälle, im Gegensatz zu 3. und 4., topologisch äquivalent.

 

 

3. Heugabel-Bifurkation

 

superkritisch (überkritisch)

subkritisch (unterkritisch)

 

dynamische Gleichung:    

 

Fixpunkte:

, 

 

Für m < 0 verschwinden die Fixpunkte !

 

 

linearisierte Differentialgleichung:

 

1. Fixpunkt:

 

2./3. Fixpunkt:

 stabil, da m > 0

 

 

 

dynamische Gleichung:   

 

 

Fixpunkte:

, 

 

Für m > 0 verschwinden die Fixpunkte !

 

linearisierte Differentialgleichung:

 

1. Fixpunkt:

 

2./3. Fixpunkt:

 instabil, da m < 0

 

 

 

 

4. Hopf-Bifurkation

 

superkritisch (überkritisch)

subkritisch (unterkritisch)

 

dynamische Gleichung:

 

und

 

1. Lösung:

 

 Ù

 

2. Lösung:

 

 Ù 

stabil, da m > 0

 

 

 

dynamische Gleichung:    

 

und

 

1. Lösung:

 

 Ù

 

2. Lösung:

 

 Ù

instabil, da m < 0

 

 

 

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