|
(1.40) |
Im nächsten Iterationsschritt wird mit dem errechneten ein bestimmt, aus welchem man wieder durch Invertieren des Laplace-Operators ein bestimmt. Die Iteration führt man so oft durch, bis das Residuum
unterhalb einer anzugebenden Schranke liegt. Man spricht dann von einer konvergierten Lösung.
Die Definition (1.41) hat den Nachteil, daß man für jede neue Rechnung wieder eine geeignete Schranke ermitteln muß. Vorteilhafter ist es daher, das normierte Residuum
(1.42) |
Der formale Ablauf des Fixpunktverfahrens erweist sich bei konkreten Rechnungen als unbrauchbar. Der Grund dafür ist, daß die ersten Iterationsschritte , aufgrund der starken Nichtlinearität in (1.39), Werte für liefern, die sehr weit weg von der gesuchten Lösung liegen.
Eine Möglichkeit zur Verfeinerung des Fixpunktverfahrens ist das sogenannte Dämpfen, bei dem man jeder neuen Lösung grundsätzlich einen sehr großen Fehler unterstellt und sie daher mit der vorangegangen Lösung vermengt
(1.43) |
Mit dem Faktor gewichtet man den Einfluß der neuen Lösung . Für verschwindet der Einfluß der vorangegangen Lösung , für dämpft man den Einfluß von und übergewichtet den Einfluß von .
Eine Möglichkeit zur Beschleunigung der Konvergenz ist das Newton-Verfahren. Im Gegensatz zum Fixpunktverfahren wird hier die Ladungsträgerdichte nach bis zur ersten Ordnung Taylor-entwickelt [Bro81] und damit Laplace-Operator und Inhomogenität in der Poisson-Gleichung modifiziert [Sel84]. Das heißt, für ein Potential des Iterationsschritts schreibt sich (1.39) im folgenden Iterationsschritt zu
(1.44) |
Die so umgeformte Poisson-Gleichung
wird mit ihrem neuen Differentialoperator-Operator und neuer Inhomogenität dem Fixpunkt-Verfahren unterzogen. Als Faustregel gilt, daß wenn das Fixpunkt-Verfahren eine Lösung findet, das Newton-Verfahren diese in den meisten Fällen schneller findet. Scheitert das Fixpunkt-Verfahren, so findet auch das Newton-Verfahren keine Lösung. Der Vorteil beschränkt sich also auf die Rechenzeit [Sel84], [Meh01]. Unter anderem für hohe Temperaturen () hat sich das Newton-Verfahren bei der Simulation von Halbleiterbauelementen bewährt.